<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          9 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadores
          Clia Rosa e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 3598-6000
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          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,

                                I
<R+>
 Sumrio 

 Terceira Parte

 Unidade 4

 Equaes do 2 Grau ::::: 259
 19 -- Equao do 2 grau 
  com uma incgnita :::::::: 262 
 Conhecendo a equao do 2 
  grau com uma incgnita ::: 266 
 Equao completa e equao 
  incompleta ::::::::::::::: 269 
 Escrevendo uma equao do 
  2 grau com uma incgnita 
  na sua forma reduzida :::: 274 
 20 -- Resolvendo equaes 
  incompletas do 2 
  grau ::::::::::::::::::::: 280 
 Resolvendo equaes da 
  forma ax2+bx=0 :::::::: 281 
 Resolvendo equaes da 
  forma ax2+c=0 ::::::::: 284 
 21 -- Resolvendo uma 
  equao completa do 2 
  grau com uma incgnita ::: 295 
<p>
 O processo do completamento 
  de quadrados ::::::::::::: 298
 Resolvendo uma equao do 
  2 grau pelo processo de al-Khowarizmi 
  (completando 
  quadrados) :::::::::::::: 306 
 O processo algbrico de 
  Bhaskara :::::::::::::::: 319 
 Frmula resolutiva ou 
  frmula de Bhaskara ::::: 324 
 22 -- Resolvendo 
  problemas :::::::::::::::: 340 
 A equao do 2 grau e a 
  Geometria ::::::::::::::: 350
 23 -- Estudando as razes 
  de uma equao do 2 
  grau ::::::::::::::::::::: 361 
 24 -- Relacionando as 
  razes e os coeficientes 
  da equao 
  ax2+bx+c=0 :::::::::::: 367 
 25 -- Escrevendo uma 
  equao do 2 grau quando 
  conhecemos as duas 
  razes ::::::::::::::::::: 376 
<p>
                             III
 26 -- Equaes 
  biquadradas :::::::::::::: 380 
 27 -- Equaes 
  irracionais :::::::::::::: 384 
<R->

<p>
<93>
<ta c. da mat. 9 ano>
<T+259>
 Unidade 4

 Equaes do 2 Grau 

 O mundo representado pelos 
  babilnios 

  Esta tbua de argila _`[no adaptada_`]  
conhecida como "Mapa Babilnico do Mundo". Mostra 
um crculo, que representa o oceano, e, ao centro, o mundo, com o Ocidente na parte de 
cima. O mapa foi composto provavelmente em 700 a.C.

 Pra voc pensar!
 
  Qual o valor de dois 
nmeros, sabendo-se a 
soma e o produto deles? 

<p>
 A maior biblioteca do mundo 
  antigo 

  Em 306 a.C. Ptolomeu criou, em 
Alexandria, um fabuloso centro 
de estudos que continha, em 
sua biblioteca, mais de 500.000 
manuscritos cientficos de vrias 
partes do mundo. 

<R+>
 _`[{foto seguida de legenda_`]
 Legenda: Inspirada na Biblioteca de 
Alexandria, a mais famosa da 
Idade Antiga, foi projetada com 
apoio da Unesco a Bibliotheca 
Alexandrina, inaugurada em 
2002 na cidade de 
  Alexandria.
<R->

 O saber levado a srio 

  Mas no somente a Biblioteca de Alexandria  exemplo 
da importncia do conhecimento para o mundo antigo: 
a "Casa da Sabedoria", um extraordinrio centro 
cultural criado em 832 por Harum al-Rashid, califa de 
Bagd, alcanou seu esplendor sob o governo de seu 
filho, Al-Ma'amun, a quem al-Khowarizmi dedicou seu 
livro fundador da lgebra. Nessa obra, Khowarizmi faz 
uma clara exposio de como resolver as equaes, 
especialmente as do 2 grau. 
  Para resolver as equaes do 2 grau, al-Khowarizmi 
utilizava somente palavras, at mesmo para expressar 
os nmeros, e seu mtodo de resoluo consistia em 
formar o quadrado perfeito. 

<R+>
 _`[{foto seguida de legenda_`]
 Legenda: A Casa da Sabedoria era localizada em Bagd (foto), 
importante cidade do mundo antigo, que hoje  
capital do Iraque. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<94>
<p>
 19 -- Equao do 2 grau com 
  uma incgnita 

 Explorando 

  Considere os polgonos a seguir. 

<F->
       x
  pcccccccccc
  l          _
  l          _
x l          _
  l          _
  l          _
  l          _
  v----------#

         x
   pccccccccccc
   l           _
3 l           _
   l           _
   v-----------#
<F+>

  Se, do nmero que expressa a rea do quadrado, voc subtrair o nmero que expressa a 
rea do retngulo, voc vai encontrar 4. 
<R+>
 a) Escreva no caderno a equao que representa essa afirmao. 
 b) Descubra entre os nmeros do quadro a seguir _`[no adaptado_`] o valor do nmero x que satisfaz essa equao. 

 _`[{nmeros do quadro_`]
 2, 5, 9, 6, 4, 8, 7, 10, 12
<R->

  Como voc faria a resoluo dessa equao para encontrar tal nmero? Troque ideias com 
um colega. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<p>
 wr Histria 

<R+>
 A equao do 2 grau h muito, muito tempo... 
<R->

  Textos babilnicos, 
escritos h cerca de 
4.000 anos, j faziam 
referncia a problemas 
que hoje resolvemos 
usando equaes do 
2 grau. 

  Um dos problemas mais comuns nos escritos babilnicos tratava da determinao de 
dois nmeros, quando conhecidos a soma e o produto deles. A resoluo desses problemas 
era estritamente geomtrica: considerava-se o produto dos dois nmeros como a rea e a 
soma deles como o semipermetro de um retngulo. As medidas dos lados do retngulo 
correspondiam aos nmeros dados, que eram sempre naturais. 
  Esse tratamento geomtrico era longo e cansativo, o que levou os gregos -- e posteriormente 
os rabes -- a buscar um procedimento mais simples para resolver tais problemas. 
<95> 
  No sculo IX, al-Khowarizmi, matemtico rabe, desenvolveu um processo para a resoluo desses problemas. Esse processo 
deu incio  chamada lgebra Geomtrica. 
  No sculo XII, baseado nos estudos feitos por al-Khowarizmi, o matemtico hindu Bhaskara (1114-1185) apresentou 
um processo puramente algbrico que permitia resolver qualquer equao do 2 grau. Partindo desse processo e com o uso 
da lgebra Simblica, os matemticos puderam chegar a uma frmula, usada at hoje, que ficou conhecida como frmula 
resolutiva para equaes do 2 grau. 

<R+>
 _`[{mapa "Localizao de algumas civilizaes que contriburam para o desenvolvimento da Matemtica" no adaptado, destacando as seguintes civilizaes: 
  Grcia, Egito, Mesopotmia, Babilnia e Arbia_`]

 Fonte de pesquisa: *Atlas histrico escolar*. Rio de Janeiro: MEC/Fename, 1991. 

 Conhecendo a equao do 2 grau 
  com uma incgnita 
<R->

  Observe a planta parcial de um escritrio. 

<F->
     p^^pcccccccccccccccc
     l  l        _        _
   x l  lsala 1 _sala 2 _  
     l  l        _        _
     l  l        _        _
     r~~h:::::::  :::::::w
1 m l        corredor    _
     h~~::::::::::::::::::j   
<F+>

  As duas salas quadradas e o corredor retangular tm, juntos, 40 m2 de rea. Cada sala 
tem x metros de lado, e o corredor tem 1 metro de largura. Qual  a medida x do lado de 
cada sala quadrada? 
  De acordo com a figura e os dados do problema, podemos concluir que: 
<R+>
 o A rea de cada sala  x2. 
 o A rea do corredor  dada por 12x ou 2x. 
 o A equao que representa o problema : 2x2+2x=40 
  2x2 -- rea das duas salas
  2x -- rea do corredor
<R->

<96> 
  Obtivemos uma equao que no  do 1 grau na incgnita x (que voc j sabe resolver), 
pois existe um termo em que a incgnita x se apresenta com expoente 2. 
  Equaes desse tipo so denominadas equaes do 2 grau com uma incgnita. 

  Denomina-se equao do 2 grau na incgnita x toda equao da 
forma ax2+bx+c=0, em que *a*, *b* e *c* so nmeros reais e a=0. 

<p>
  Assim: 
<R+>
 o 2x2+2x-40=0  uma equao do 2 grau na incgnita x, em que a=2, b=2 e c=-40. 
 o x2-7x+10=0  uma equao do 2 grau na incgnita x, em que a=1, b=-7 e c=10. 
 o 5y2-7y+2=0  uma equao do 2 grau na incgnita y, em que a=5, b=-7 e c=2. 
 o x2-25=0  uma equao do 2 grau na incgnita x, em que a=1, b=0 e c=-25. 
 o 6x2-9x=0  uma equao do 2 grau na incgnita x, em que a=6, b=-9 e c=0. 
<R->

  Nas equaes do 2 grau com uma incgnita, os nmeros reais *a*, *b* e *c* so chamados 
coeficientes da equao. Assim, se a equao for na incgnita x: 

<R+>
 o *a* ser sempre o coeficiente do termo em x2; 
 o *b* ser sempre o coeficiente do termo em x; 
<p>
 o *c* ser o coeficiente sem varivel ou o termo independente de x. 

 Equao completa e equao 
  incompleta 
<R->

  Pela definio, devemos ter sempre a=0. Entretanto, podemos ter b=0 ou c=0. 
Assim: 

  Quando b=0 e c=0, a equao do 2 grau se diz completa. 

  Exemplos: 
<R+>
 o 5x2-8x+3=0  uma equao completa (a=5, b=-8 e c=3). 
 o y2+12y+20=0  uma equao completa (a=1, b=12 e c=20).
<R->

  Quando b=0 ou c=0 ou b=c=0, a equao do 2 grau se diz incompleta. 

<p>
  Exemplos: 
<R+>
 o x2-81=0  uma equao incompleta (a=1, b=0 e c=-81). 
 o 10t2+2t=0  uma equao incompleta (a=10, b=2 e c=0). 
 o 5y2=0  uma equao incompleta (a=5, b=0 e c=0). 
<R->

<97> 
 Exerccios 

<R+>
 1. Escreva no caderno as equaes que so do 2 grau com uma incgnita: 
 a) 3x2-5x+1=0 
 b) 10x4-3x2+1=0 
 c) 2x-3=0 
 d) -x2-3x+2=0 
 e) 4x2-x=0 
 f) 9x2-1=0 
 g) 2x4+5=0 
 h) 0x2-5x+6=0 

 2. Identifique como completa ou incompleta 
cada equao do 2 grau: 
<p>
 a) x2-7x+10=0 
 b) -2x2+3x-1=0 
 c) -4x2+6x=0 
 d) x2-x-12=0 
 e) 9x2-4=0 
 f) 7x2+14x=0 

 3. Todas as equaes seguintes so do 2 grau 
e esto escritas na forma ax2+bx+c=0. Identifique os coeficientes de cada equao. 
 a) 10x2+3x-1=0 
 b) x2+2x-8=0 
 c) y2-3y-4=0 
 d) 7p2+10p+3=0 
 e) -4x2+6x=0 
 f) r2-16=0 
 g) -6x2+x+1=0 
 h) 5m2-10m=0 

 4. Escreva a equao ax2+bx+c=0, quando: 
 a) a=1, b=6, c=9 
 b) a=4, b=-6, c=2 
 c) a=4, b=0, c=-25 
 d) a=-21, b=7, c=0 

 wr Histria

 A equao do 2 grau como ela  hoje  

 A contribuio de Vite
<R->

  Vite foi quem introduziu os smbolos na Matemtica, substituindo as palavras por 
smbolos. Assim, Vite passou a representar: 
<R+>
 o a incgnita por uma vogal; 
 o a palavra *mais* pelo smbolo ^cp (do francs *plus*) e a palavra *menos* pelo smbolo ^cm (do 
francs *moins*); o trao sobre a letra indicava que ela estava sendo usada como smbolo 
matemtico. 
<R->
  No caso da equao do 2 grau, usava a palavra "rea" para indicar "quadrado". 
  Assim: 

<p>
<R+>
 _`[{tabela adaptada_`]
 Nossa linguagem -- Linguagem de Vite 
 x2=9 -- A rea  igual a 9. 
 2x2-5x+2=0 -- A2 rea ^cm A5 ^cp 2  igual a 0. 
<R->

  Mais tarde, Vite adotou o smbolo + para substituir ^cp e o smbolo - para 
substituir ^cm. Assim: 

<R+>
 _`[{tabela adaptada_`]
 Nossa linguagem -- Linguagem de Vite 
 x2=9 -- A rea  igual a 9. 
 2x2-5x+2=0 -- A2 rea -A5+2  igual a 0. 
<R->

 A contribuio de Descartes 
 
  A passagem para a lgebra Simblica, iniciada por Vite, foi completada por Ren 
 Descartes (1596-1650), que praticamente criou a notao que usamos at hoje. 
  Descartes introduziu o uso das ltimas letras do alfabeto para representar as incgnitas, 
o sinal = para substituir a palavra "igual" e o smbolo x2 para substituir a palavra 
"rea". Assim: 

<R+>
 A rea  igual a 9 :> ficou x2=9 
 A2 rea -A5+2  igual a 0 :> ficou 2x2-5x+2=0 

 _`[{ilustrao seguida por legenda_`]
 Legenda: O matemtico francs Franois Vite (1540-1603)  conhecido como o "Pai da lgebra". 

<98> 
 Escrevendo uma equao do 2 grau com uma incgnita na sua forma reduzida 
<R->

  Observe as seguintes equaes do 2 grau com uma incgnita: 
 o x2-5x+6=0 
 o y2-25=0 
 o -3t2+4t-1=0 
 o -2x2+8x=0 
  Essas equaes esto escritas na forma ax2+bx+c=0, que  denominada forma 
reduzida de uma equao do 2 grau com uma incgnita. 
  H, porm, algumas equaes do 2 grau que no esto escritas na forma 
ax2+bx+c=0, como por exemplo: 
 o 3x2-6x=x-3  
 o 2x-12=x?x-4*
   Por meio de transformaes, nas quais aplicamos os princpios aditivo e multiplicativo 
da igualdade, tais equaes podem passar a ser expressas nessa forma. Acompanhe as 
situaes a seguir. 

<R+>
 1- Escrever a equao 2x2-
  -7x+4=1-x2 na forma reduzida. 
<p>
 2x2-7x+4=1-x2 -- equao dada 
 2x2-7x+4-1+x2=0 -- aplicamos o princpio aditivo 
 3x2-7x+3=0 -- forma reduzida da equao dada 

 2- Qual  a forma reduzida da equao `(2x+3`)2=10-
  -`(x+4`)`(x-2`)? 
 `(2x+3`)2=10-`(x+4`)`(x-2`) -- equao dada 
 4x2+12x+9=10-`(x2+2x-8`) 
 4x2+12x+9=10-x2-2x+8 -- eliminamos os parnteses 
 4x2+12x+9=-x2-2x+18 
 4x2+x2+12x+2x+9-18=0 -- pelo princpio aditivo 
 5x2+14x-9=0 -- forma reduzida da equao dada 

 3- Escrever a equao 2x-
  -12=x?x-4* (com x=0 e x=4) na forma reduzida. 
<p>
 2x-12=x?x-4* -- equao dada 
 ?4`(x-4`)-x`(x-4`)*?2x`(x-4`)*=
  =2x2?2x`(x-4`)* -- reduzimos todos os termos ao mesmo denominador 
 4`(x-4`)-x`(x-4`)=2x2 -- eliminamos os denominadores pelo princpio multiplicativo 
 4x-16-x2+4x=2x2 -- aplicamos a propriedade distributiva 
 -x2+8x-16=2x2 
 -x2-2x2+8x-16=0 -- pelo princpio aditivo 
 -3x2+8x-16=0 -- forma reduzida da equao dada 

<99> 
 Exerccios 

 1. Preste ateno ao que Rosa est dizendo. 
<R->

 _`[{rosa diz_`]
  "O quadrado de um 
nmero aumentado do 
triplo desse nmero 
 igual ao prprio 
nmero mais 35." 

<R+>
 Escreva na forma reduzida a equao do 2 grau que se pode formar com os dados que Rosa apresentou.

 2. Escreva na forma ax2+bx+c=0 (forma 
reduzida) as equaes do 2 grau a seguir. 
 a) x2-7=x+5 
 b) x2+11x=16x-6 
 c) x`(x-6`)+x2=`(x-5`)`(x+2`) 
 d) `(x-10`)2+x`(x+17`)=104 
 e) x2-13=16x2 
 f) x24+110=x25+x2 
 g) x+6=4x?x-2* `(x=2`) 
 h) x?x-1*+1?x+1*=
  =?x-3x2*?x2-1* 
  `(x=1, x=-1`) 

 3. A medida do lado de um quadrado  expressa 
por `(3x-1`) cm, e a rea desse quadrado 
 64 cm2. Qual  a equao do 2 grau, escrita 
na forma reduzida, que se pode obter com os 
dados desse problema? 
<p>
 4. O quadrado da diferena entre os nmeros 
reais x e 3  igual a 5 vezes o nmero x, menos 1. 
Qual  a equao do 2 grau, escrita na forma reduzida, 
que se pode escrever com esses dados? 
 5. Em um retngulo de rea 54 m2, o comprimento 
 expresso por `(x+1`) cm, e a largura  
expressa por `(x-2`) cm. Qual  a equao do 
2 grau, escrita na forma reduzida, que se pode 
escrever com esses dados? 
<R->

  A rea de um retngulo  calculada 
multiplicando-se as medidas de dois lados 
adjacentes do retngulo. 

<R+>
 6. O nmero de diagonais *d* de um polgono 
pode ser obtido pela frmula d=?n`(n-3`)*2, em 
que *n*  o nmero de lados desse polgono. Sendo 
d=10, escreva, na forma reduzida, a equao do 
<p>
  2 grau na incgnita *n* que se pode obter. 

               ::::::::::::::::::::::::

 20 -- Resolvendo equaes 
  incompletas do 2 grau
<R->

  Voc j sabe que resolver uma equao significa determinar o conjunto soluo dessa 
equao em um conjunto universo dado. 
  Na resoluo das equaes incompletas do 2 grau, usaremos a fatorao, que voc j 
aprendeu no ano anterior, e estas duas propriedades importantes dos nmeros reais: 

<R+>
 o Sendo x e y dois nmeros reais quaisquer e xy=0, ento, x=0 ou y=0. 
 o Sendo x e y dois nmeros reais quaisquer e x2=y, ento, x=+y ou x=-y. 

<100> 
<p>
 Resolvendo equaes da forma ax2+bx=0 
<R->

  Observe alguns exemplos: 

<R+>
 1- Resolver a equao x2-9x=0 no conjunto _r. 
 x2-9x=0 
 x`(x-9`)=0 -- colocamos x em evidncia 
 Pela propriedade dos nmeros reais, temos: 
 x=0 -- uma raiz da equao 
 ou 
 x-9=0 
 x=9 -- outra raiz da equao 
 Logo, os nmeros 0 e 9 so as razes dessa equao. Assim, S=~l0, 9_,. 

 2- Um nmero real  tal que seu quadrado  igual ao seu triplo. Qual  esse nmero? 
  Representando por x o nmero procurado, podemos escrever a equao: 
<p>
 x2=3x 
 x2-3x=0 
 x`(x-3`)=0 
 x=0 
 ou 
 x-3=0 
 x=3 
 O nmero procurado  0 ou 3. 

 3- No conjunto _r, determinar o conjunto soluo da equao `(x-2`)2=4-x`(x+3`). 
  Vamos, inicialmente, escrever a equao na sua forma reduzida e, depois, resolv-la: 
 `(x-2`)2=4-x`(x+3`) 
 x2-4x+4=4-x2-3x 
 x2+x2-4x+3x+4-4=0 
 2x2-x=0 -- forma reduzida 
 x`(2x-1`)=0 -- colocamos x em evidncia 
 x=0 -- uma raiz 
 ou 
 2x-1=0 
 2x=1 
 x=12 -- outra raiz 
<p>
 Logo, os nmeros 0 e 12 so as razes da equao. Assim, S=~l0, 12_,. 

<101> 
 4- O quadrado e o retngulo apresentados a seguir tm a mesma rea. Calcular a medida x 
do lado do quadrado. 

<F->
     x
  pcccccc
  l      _
x l      _ x
  l      _
  v------#
     x

           3x
   pcccccccccccccccccc
2 l                  _ 2
   l                  _ 
   v------------------#
           3x
<F+>

 o A rea do quadrado  expressa por x2. 
<p>
 o A rea do retngulo  expressa por 23x ou 6x. 
  Como as figuras tm a mesma rea, podemos escrever a equao x2=6x. 
  Vamos, ento, resolver essa equao e obter a medida x do lado do quadrado. 
 x2=6x 
 x2-6x=0 
 x`(x-6`)=0 
 x=0 
 ou 
 x-6=0 
 x=6 
 Portanto, o lado do quadrado mede 6 unidades de rea. 

 Resolvendo equaes da forma 
  ax2+c=0 

  Observe os seguintes exemplos: 

 1- Resolver a equao x2-49=0 no conjunto _r. 
 x2-49=0 
 x2=49 -- pelo princpio aditivo 
 Aplicando a propriedade dos nmeros reais j citada, temos: 
 x=+49 ou x=-49 
 x=+7 ou x=-7 
 Podemos escrever x=+:-7. 
 Logo, os nmeros 7 e -7 so as razes da equao. Assim, S=~l-7, 7_,. 

 2- Qual  a soluo da equao 16x2-1=0, no conjunto _r? 
 16x2-1=0 
 16x2=1 -- pelo princpio aditivo 
 x2=116 -- pelo princpio multiplicativo 
 x=+:-?116* -- pela propriedade dos nmeros reais 
 x=+:-14 
 Logo, os nmeros -14 e 14 so as razes da equao. Assim, S=~l-14, 14_,. 

<102> 
 3- Determinar os valores reais de x para que se tenha 3x2-60=0. 
  Como todos os termos da equao so divisveis por 3, vamos primeiro obter uma 
equao equivalente, dividindo todos os termos da equao dada por 3, para 
depois determinar os valores de x: 
 3x2-60=0 
 3x23-603=03 
 x2-20=0 
 x2=20 
 x=+:-20 
 Como 20 no apresenta raiz quadrada exata, vamos simplificar o radical: 
 x=+:-?225*=+:-25 
 Logo, os nmeros -25 e +25 so as razes da equao. Assim, S=~l-25, 25_,. 

 4- Determinar a soluo da equao x2+4=0 no conjunto _r. 
 x2+4=0 :> x2=-4 :> x=+:--4 
 Como -4 no existe no conjunto _r, no temos valores reais para x. 
 Logo, a equao no tem razes reais. Assim, S=_j. 
<L>
 5- Resolver, no conjunto _r, a equao `(2y+1`)2=
  =8+2`(2y+1`). 
  Inicialmente, vamos escrever a equao dada na sua forma reduzida para, depois, resolv-la: 
 `(2y+1`)2=8+2`(2y+1`) 
 4y2+4y+1=8+4y+2 
 4y2+4y+1=10+4y 
 4y2+4y-4y+1-10=0 
 4y2-9=0 -- forma reduzida 
 4y2=9 -- pelo princpio aditivo 
 y2=94 -- pelo princpio multiplicativo 
 y=+:-?94* 
 y=+:-32 
 Logo, os nmeros -32 e 32 so as razes da equao. Assim, S=~l-32, 32_,.

<103>
 6- A rea de uma praa quadrada  144 m2. Quanto mede o lado dessa praa? 
  Indicando por x a medida do lado dessa praa, podemos escrever a equao: 
 x2=144 
 x=+:-144 
 x=+:-12 
 Como a medida do lado no pode ser um nmero negativo, a soluo x=-12 no serve para o problema. 
 Logo, a medida do lado da praa  12 m. 

 Exerccios 

 1. Determine o conjunto soluo de cada uma das seguintes equaes do 2 grau, no conjunto _r: 
 a) x2-12x=0 
 b) x2-1=0 
 c) x2-16=0 
 d) 5x2-3x=0 
 e) x2+x=0 
 f) x2-64=0 
 g) x2+16=0 
 h) 7x2-x=0 
 i) 9x2=25 
 j) -4x2+28x=0 
 k) x2-20=0 
 l) -15x2-5x=0 
<L>
 2. Qual  o conjunto soluo de cada uma das 
seguintes equaes do 2 grau, sendo U=_r? 
 a) `(x+5`)`(x-6`)=51-x 
 b) x2+3x`(x-12`)=0 
 c) `(x-5`)2=25-9x 
 d) 2x`(x+1`)-x`(x+5`)=3`(12-x`) 
 e) `(x+2`)`(x-16`)+`(x+7`)2=89 
 f) `(x-4`)2+5x`(x-1`)=16 

 3. Calcule o conjunto soluo de cada equao: 
 a) 3x-13x=0 `(x=0`), U=_r* 
 b) x24-52=-1, U=_r 
 c) 11x210-3x5=x2, U=_r
 d) x?x+1*=83+x?1-x*, U=_r-~l-1, 1_, 
 e) ?x-3*?x2-4*+1=1?x-2*, U=_r-~l-2, 2_,
 f) 3?x-5*+1?x+5*=?10-
  -x2*?x2-25*, U=_r-~l-5, 
  5_,

 4. Determine o nmero real positivo x para 
que se tenha ?x2-x*2=x-?x-x2*3. 
<p>
 5. As medidas dos lados de um terreno retangular 
esto indicadas, em metros, na figura 
a seguir. Se a rea desse terreno  899 m2, quais 
as medidas dos lados desse terreno? 

<F->
pccccccccccccc
l             _ 
l             _ `(x-1`) m
l             _
v-------------#
  `(x+1`) m
<F+>

 6. Considere a equao V=2k+h25. Quais os 
valores reais de *h* quando V=24 e k=2? 

 7. Sendo x, y reais, considere a equao 
x2y=90 e determine: 
 a) o valor de y quando x vale 50% de 8. 
 b) os valores de x quando y=10. 

<p>
 8. Leia as afirmaes: 

 O quadrado de um nmero real 
  positivo x  igual a 81.
 
 O quntuplo de um nmero real 
  positivo y  igual ao seu 
quadrado. 

 Qual  o valor da expresso x+y? 
<R->

<104> 
 wr Sade 

 Cuidando da sua sade 

  O ndice de Massa Corprea (IMC) pode ajud-lo a descobrir se est acima ou abaixo do peso conveniente para a sua sade. 
  Para calcular o IMC  fcil: basta saber qual  sua massa, em quilogramas, e sua altura, em metros. O ndice  calculado 
pela diviso da massa corporal pelo quadrado da altura, isto , por meio de uma frmula matemtica! 
  Assim: IMC=mh2 
  Vamos acompanhar um exemplo. 
  Valmir tem 80 kg e 1,60 m de altura. Seu IMC  de 31,25, ou seja: 
  IMC=80`(1,60`)2=802,56=
 =31,25
  Consultando a tabela de interpretao do IMC a seguir, verificamos que o valor obtido para o IMC de Valmir indica "obesidade 
grau I". 

<R+>
 _`["Tabela Interpretao do IMC" adaptada_`]
 Risco: Abaixo do Peso
 IMC: menor que 18
 Conduta: abaixo do peso
  Alimentao equilibrada, sem restrio calrica.

 Risco: Peso saudvel
 IMC: 18 -- 24,99
 Conduta: peso normal
  Alimentao equilibrada; Atividade fsica regular.

<p>
 Risco: Moderado
 IMC: 25 -- 29,99
 Conduta: excesso de peso
  Alimentao equilibrada com restrio calrica orientada por um profissional; Atividade fsica regular.

 Risco: Alto
 IMC: 30 -- 34,99
 Conduta: obesidade grau I
  Alimentao equilibrada com restrio calrica orientada por um profissional; Atividade fsica regular; Tratamento medicamentoso com acompanhamento mdico.

 Risco: Muito alto
 IMC: 35 -- 39,99
 Conduta: obesidade grau II
  Alimentao equilibrada com restrio calrica orientada por um profissional; Atividade fsica regular; Tratamento medicamentoso com acompanhamento m-
<p>
  dico; Possibilidade de cirurgia.

 Risco: Extremo
 IMC: 40 ou mais
 Conduta: obesidade grau III
  Alimentao equilibrada com restrio calrica orientada por um profissional; Atividade fsica regular; Tratamento medicamentoso com acompanhamento mdico; Cirurgia.
 _`[{fim da tabela_`]

 Fonte: ~,www.folhaonline.com.br~, 
  Acesso em: 10 jul. 2007. 
<R->

 Chegou a sua vez! 

<R+>
 a) Qual  o seu IMC? 
 b) Em qual categoria da "Tabela de interpretao do IMC" voc est classificado? 
 c) Qual a altura h de uma pessoa com 81 kg e IMC igual a 25?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<105> 
 21 -- Resolvendo uma equao 
  completa do 2 grau com uma 
  incgnita 

 Explorando 

  Mariana recortou, em cartolina, um quadrado e quatro retngulos 
como estes a seguir. (As medidas so dadas em centmetros.) 

<F->
       3
   pcccccccc
   l        _ 
3 l        _ 
   l        _
   l        _
   v--------#

       3
   pcccccccc
1 l        _ 
   v--------#

<p>
       3
   pcccccccc
1 l        _ 
   v--------#

       3
   pcccccccc
1 l        _ 
   v--------#

       3
   pcccccccc
1 l        _ 
   v--------#

<F+>

  Usando o quadrado e os quatro retngulos, Mariana formou a seguinte figura: 

<p>
<F->
   pcccccccc
 1l        _1
pccpcccccccccc
l  l   3   _  _
l  l        _  _
l  l3    3_  _
l  l   3   _  _
v--v--------#--#
 1l        _1
   v--------#
<F+>

  Agora, partindo dessa figura, Mariana quer formar um novo quadrado. Para isso, ter de 
acrescentar quadradinhos  figura. 
<R+>
 a) De quantos quadradinhos ela vai precisar? 
 b) Qual deve ser a rea de cada um desses quadradinhos? 
 c) Qual ser a rea do novo quadrado? 

<106> 
<p>
 O processo do completamento de quadrados
<R->

  Com base na interpretao geomtrica dada pelos gregos  expresso `(a+b`)2, o matemtico 
al-Khowarizmi estabeleceu um processo geomtrico para a resoluo de equaes 
do 2 grau com uma incgnita. 

<R+>
 _`[{foto seguida de legenda_`]
 Legenda: Matemtico e astrnomo rabe, 
al-Khowarizmi viveu entre 780 e 850. Ele 
escreveu um tratado de lgebra e um 
livro sobre os numerais hindus. 
  Essas obras exerceram enorme influncia 
na Europa do sculo XII. 
<R->

  Inicialmente, vamos observar a figura que  a representao 
geomtrica da expresso `(a+b`)2: 

<p>
<F->
          a            b
  !::::::::::::::::::::::::
  l                _        _
  l                _        _
  l                _        _
a l      a2      _   ab   _ a
  l                _        _
  l                _        _
  l                _        _
  l                _        _
  r::::::::::::::::w::::::::w
  l                _        _
b l       ab       _  b2  _ b
  l                _        _
  l                _        _
  h::::::::::::::::j::::::::j
          a            b
<F+>

  Pela figura, vemos que: 
 `(a+b`)2=a2+2ab+b2 
  A interpretao geomtrica : 
 a2+2ab+b2 

<R+>
 a2 -- rea do quadrado de lado *a* 
 2ab -- rea de um dos retngulos de lados *a* e *b* 
 b2 -- rea do quadrado de lado *b* 
<R->

  Utilizando essa interpretao, vamos acompanhar os exemplos a seguir, que mostram como 
 al-Khowarizmi desenvolveu seus estudos. 

<R+>
 1- Fazer uma interpretao geomtrica da expresso x2+6x. 
 x2+6x=x2+2`(3x`) 
 x2 -- rea de um quadrado cujo lado mede x  
 `(3x`) -- rea de um retngulo cujos lados medem 3 e x 

 Construindo a figura de acordo com a interpretao geomtrica dada: 

<p>
<F->
           x            3
   !::::::::::::::::::::::::
   l                _        _
   l                _        _
   l                _        _
 x l      x2      _  3x   _ 
   l                _        _
   l                _        _
   l                _        _
   l                _        _
   r::::::::::::::::w::::::::j
   l                _        
3 l      3x       _  
   l                _        
   l                _        
   h::::::::::::::::j
<F+>

 para completar 
o quadrado, 
acrescentamos o 
quadrado de lado 3

<p>
<F->
           x            3
   !::::::::::::::::::::::::
   l                _        _
   l                _        _
   l                _        _
 x l      x2      _  3x   _ 
   l                _        _
   l                _        _
   l                _        _
   l                _        _
   r::::::::::::::::w::::::::w
   l                _        {    
3 l      3x       _  32 {
   l                _        {       
   l                _        {       
   h::::::::::::::::j,,,,,,,,j
<F+>

<107> 
 Pela figura, notamos que, para completar um quadrado, devemos acrescentar 
o quadrado de lado 3, ou seja, de rea 32. Assim, se adicionarmos 32  expresso 
x2+6x, obteremos x2+6x+32, que  um trinmio quadrado perfeito. Da, podemos 
escrever: 
<p>
 x2+6x+32=x2+6x+9=
  =`(x+3`)2 
 x2+6x+32 -- expresso algbrica correspondente  rea do quadrado formado
 x2+6x+9 -- trinmio quadrado perfeito
 `(x+3`)2 -- forma fatorada do trinmio 

 Note que x2+6x=x2+6x+9, pois representam reas diferentes. 
 
 2- Fazer uma interpretao geomtrica da expresso x2+5x. 
 x2+5x=x2+2`(52x`)
 x2 -- rea de um quadrado cujo lado mede x
 `(52x`) -- rea de um retngulo cujos lados medem 52 e x 

 Construindo a figura de acordo com a interpretao geomtrica dada: 

<p>
<F->
           x             #?b
    !:::::::::::::::::::::::::
    l               _          _
    l               _          _
    l               _          _
  x l     x2      _   #?bx   _ 
    l               _          _
    l               _          _
    l               _          _
    l               _          _
    r:::::::::::::::w::::::::::w
    l               _          {    
#?b l    #?bx       _ `(#?b`)2 {
    l               _          {       
    l               _          {       
    h:::::::::::::::j,,,,,,,,,,j
<F+>

 Pela figura, notamos que, para completar um quadrado, devemos acrescentar o 
quadrado de lado 52, ou seja, um quadrado de rea `(52`)2. Assim, se adicionarmos 
`(52`)2  expresso x2+5x, teremos: 
<p>
 x2+5x+`(52`)2=x2+5x+
  +254=`(x+52`)2 
 x2+5x+`(52`)2 -- expresso algbrica correspondente  rea do quadrado formado
 x2+5x+254 -- trinmio quadrado perfeito
 `(x+52`)2 -- forma fatorada do trinmio
<R->

 Exerccio

  Qual nmero real voc deve adicionar a cada expresso a seguir para que se tenha um trinmio quadrado 
perfeito? Se necessrio, utilize a interpretao geomtrica, fazendo um esboo das figuras. 
 a) x2+8x 
 b) x2-10x  
 c) x2+2x 
 d) x2-12x 
 e) x2+9x 
 f) x2-5x 
 
<108> 
<p>
<R+>
 Resolvendo uma equao do 2 grau pelo processo de 
  al-khowarizmi (completando quadrados) 
<R->

  Aplicando o processo que acabamos de ver, vamos resolver as seguintes equaes do 
2 grau com uma incgnita no conjunto dos nmeros reais. 

<R+>
 1- Resolver a equao x2+6x+8=0. 
  Considerando a expresso x2+6x, podemos interpretar: 
 x2+6x=x2+2`(3x`)
 x2 -- rea de um quadrado cujo lado mede x  
 `(3x`) -- rea de um retngulo cujos lados medem 3 e x 

<p>
<F->
           x            3
   !:::::::::::::::::::::::::
   l                _         _
   l                _         _
   l                _         _
 x l      x2      _   3x   _ 
   l                _         _
   l                _         _
   l                _         _
   l                _         _
   r::::::::::::::::w:::::::::w
   l                _         {
3 l      3x       _ `(3`)2 { 
   l                _         {
   l                _         {
   h::::::::::::::::j,,,,,,,,,j
<F+>

 Pela figura, observamos que  necessrio 
acrescentar o nmero `(3`)2, ou seja, 9,  expresso 
x2+6x, para obter um quadrado. 

 Descoberto geometricamente o valor que devemos acrescentar  expresso x2+6x, voltamos  equao dada: 
 x2+6x+8=0 
 x2+6x=-8 -- princpio aditivo 
 x2+6x+9=-8+9 -- princpio de equivalncia das equaes 

 Note que, ao acrescentarmos 9  expresso x2+6x do 1 membro da equao, 
acrescentamos 9 tambm ao 2 membro para obter uma equao equivalente  anterior. 
  Fatorando o trinmio quadrado perfeito obtido no 1 membro, temos a equao: 
 `(x+3`)2=1 
 Da: 
 `(x+3`)=+1 
 x+3=1
 x=1-3
 x=-2
 ou
 `(x+3`)=-1
 x+3=-1
 x=-1-3
 x=-4
 Logo, os nmeros reais -4 e -2 so as razes da equao dada. 

<109> 
 2- Resolver a equao x2+3x-4=0. 
  Considerando a expresso x2+3x, podemos interpretar: 
 x2+3x=x2+2`(32x`) 
 x2 -- rea de um quadrado cujo lado mede x  
 `(22x`) -- rea de um retngulo cujos lados medem 32 e x 

<F->
           x            #:b
    !:::::::::::::::::::::::::
    l               _          _
    l               _          _
    l               _          _
  x l     x2      _   #:bx   _ 
    l               _          _
    l               _          _
    l               _          _
    l               _          _
    r:::::::::::::::w::::::::::w
    l               _          {    
#:b l    #:bx       _ `(#:b`)2 {
    l               _          {       
    l               _          {       
    h:::::::::::::::j,,,,,,,,,,j
<F+>
 
 Pela figura, observamos que  necessrio 
acrescentar o nmero `(32`)2, ou seja, 94,  expresso 
x2+3x, para obter um quadrado. 

 Depois de descobrir geometricamente o valor que devemos acrescentar  expresso 
x2+3x, voltamos  equao dada: 
 x2+3x-4=0 
 x2+3x=4 
 x2+3x+94=4+94 
 `(x+32`)2=254
 x+32=+:-?254*
 x+32=+?254* 
 x+32=+52
 x=52-32
 x=22=1
 ou
 x+32=-?254*
 x+32=-52
 x=-52-32
 x=-82=-4 
 Logo, os nmeros reais -4 e 1 so as razes da equao dada. 

<110> 
<p>
 3- Resolver a equao 8x2+2x-1=0. 
  Vamos facilitar a construo da figura tornando o coeficiente *a* igual a 1. Para isso, 
inicialmente dividiremos todos os termos da equao por 8 (j que, no caso, a=8): 
 8x28+2x8-18=0 :> x2+14x-18=0 
  Considerando a expresso x2+14x, podemos interpretar: 
 x2+14x=x2+2`(18x`) 
 x2 -- rea de um quadrado cujo lado mede x 
 `(18x`) -- rea de um retngulo cujos lados medem 18 e x   

<p>
<F->
           x            #,h
    !:::::::::::::::::::::::::
    l               _          _
    l               _          _
    l               _          _
  x l     x2      _   #,hx   _ 
    l               _          _
    l               _          _
    l               _          _
    l               _          _
    r:::::::::::::::w::::::::::w
    l               _          {    
#,h l    #,hx       _ `(#,h`)2 {
    l               _          {       
    l               _          {       
    h:::::::::::::::j,,,,,,,,,,j
<F+>

 Pela figura, observamos que  possvel acrescentar o nmero `(18`)2, ou seja, 164,  expresso x2+14x, 
para completar o quadrado. 

 Voltando  equao, que obtemos ao dividir os termos da equao dada por 8, temos: 
<p>
 x2+14x-18=0 
 x2+14x=18 
 x2+14x+164=18+164
 `(x+18`)2=964

 Assim:
 x+18x=+?964* :> x+18=+38 :> x=+38-18 :> x=28=14
 ou
 x+18=-?964* :> x+18=-38 :> x=-38-18 :> x=-48=-12
 Logo, os nmeros reais -12 e 14 so as razes da equao. 
<R->

<111> 
 Exerccio 

  Usando o processo geomtrico de al-Khowarizmi (completamento de quadrados), determine as razes 
de cada uma das seguintes equaes do 2 grau com uma incgnita no conjunto dos nmeros reais: 
 a) x2+2x-15=0 
 b) x2+4x-12=0 
 c) x2+12x+32=0 
 d) x2+6x-7=0 
 e) x2+3x-10=0
 f) x2+2x+1=0 

 Desafio! 

  Convide um colega e explorem, juntos, a resoluo de uma equao do 2 grau com uma incgnita. 
  O processo de resoluo utilizado foi baseado na Geometria e  semelhante aos processos j conhecidos 
pelos antigos gregos. 
  Acompanhem a situao a seguir. 
  Um carto retangular tem 91 cm2 de rea. Qual a medida de cada lado desse carto, se a medida da 
base supera a medida da altura em 6 cm? 

<F->
  pccccccccccccc
  l             _
x l             _
  l             _
  v-------------#
        x+6
<F+>

<p>
  Podemos expressar algebricamente essa situao: 
<R+>
 medida da base  medida da altura = rea 
 ou 
 `(x+6`)x=91 
<R->

  Vamos dividir o carto em um quadrado de lado x e dois retngulos iguais de lados 3 e x: 

<F->
  pccccccccccccc
  l             _
x l             _
  l             _
  v-------------#
        x+6

      x    3 3 
  pccccccccccc
  l       _  _  _
x l       _  _  _ x
  l       _  _  _
  v-------#--#--#
      x    3 3
<F+>

<p>
  Agora, vamos reorganizar as partes do carto:

<F->
   pccccccc
3 l       _
   pccccccccc
   l       _  _
 x l       _  _ x
   l       _  _
   v-------#--#
       x    3 
<F+>

<112> 
  Se "completarmos" a figura obtida com o quadrado lils de lado 3 cm, formaremos um quadrado maior, 
de lado x+3 e rea 100 cm2 (os 91 cm2 do carto original mais os 9 cm2 do quadrado lils). 

<p>
<F->
_`[{figura adaptada_`]
Legenda:
li -- quadrado lils

                         3
     !:::::::::::::::,,,,,,,,
     l               _        {
     l               _   li   { 3
     l               _        {
     l               _        {
     r:::::::::::::::w::::::::w
x+3 l               _        _
     l               _        _
     l               _        _
     l               _        _
     l               _        _ 
     l               _        _
     l               _        _
     h:::::::::::::::j::::::::j
               x+3
<F+>

  Assim, podemos escrever: 
<R+>
 `(x+3`)`(x+3`)=91+9
 `(x+3`)2=100
 x+3=+:-100
 x+3=-10 :> x=-13 (no convm) 
 x+3=10 :> x=7 
<R->

  As medidas dos lados do carto so: x=7 cm e x+6=13 cm 

<F->
          13 cm
      pccccccccccccc
      l             _
7 cm l             _ 7 cm
      l             _
      v-------------#
          13 cm
<F+>

 Chegou a sua vez! 

  Com seu colega, utilize o mesmo 
processo para resolver o problema 
a seguir. 
  Uma empresa administradora de 
cartes de crdito encomendou um 
projeto de carto retangular com 
4.785 mm2 de rea. 
  Qual a medida de cada lado desse 
carto, se a medida da base supera a 
medida da altura em 32 mm? 

<p>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l     Carto de Crdito      _
l     Banco Retngulo        _
l                              _
lInternacional                _ x
lAntonio Pedro Silva        _
l0000 4444 xxxx 11100 45261_
lValidade: 00/00/0000    _
h::::::::::::::::::::::::::::::j
            x+32
<F+>

<113> 
 O processo algbrico de Bhaskara 

  Voltemos a considerar as equaes 
x2+6x+8=0 e x2+3x-
 -4=0, que j resolvemos 
usando o processo geomtrico de 
 al-Khowarizmi. 
<R+>
 o Em x2+6x+8=0, o nmero que acrescentamos 
aos dois membros da equao foi 9=`(3`)2=
  =`(62`)2. 

 `(62`)2
 6 -- coeficiente *b* 

<p>
 o Em x2+3x-4=0, o nmero que acrescentamos 
aos dois membros da equao foi 94=
  =`(32`)2 

 `(32`)2
 3 -- coeficiente *b* 
<R->

  Nas duas equaes, o nmero acrescentado aos dois membros corresponde * metade 
do coeficiente *b*, elevada ao quadrado*. 
  Esse fato foi constatado por Bhaskara ao estudar o processo de al-Khowarizmi. Bhaskara 
apresentou, ento, um processo algbrico que no mais necessitava da interpretao geomtrica 
para a resoluo de equaes do 2 grau com uma incgnita. 
  Veja a seguir o caminho trilhado por Bhaskara. 

<R+>
 _`[{foto seguida de legenda_`]
 Legenda: No sculo XII, o matemtico hindu 
Bhaskara baseou-se em estudos de 
  al-Khowarizmi para apresentar 
um processo algbrico que permitia 
resolver qualquer equao do 2 grau. 
Usando o processo de Bhaskara 
e partindo da equao escrita na 
sua forma reduzida, foi possvel 
determinar, de maneira mais simples, 
as razes de qualquer equao 
do 2 grau com uma incgnita.

 1- Resolver a equao x2-2x-8=0, sendo U=_r. 
 x2-2x-8=0 
 x2-2x=8 
 x2-2x+12=8+12 -- adicionamos em ambos os membros da equao a expresso `(-22`)2=`(-1`)2=12 
 x2-2x+1=8+1 
 `(x-1`)2=9 
 x-1=+:-9 
 x-1=+:-3 

<p>
 Da, temos: 
 x-1=3 
 x=3+1=4 
 ou
 x-1=-3 
 x=-3+1=-2 
 Logo, os nmeros reais -2 e 4 so as razes da equao dada. 

<114> 
 2- Determinar as razes da equao 3x2-2x-1=0, sendo U=_r. 
  Nesse caso, sendo a=3, ou seja, a=1, devemos dividir todos os termos da equao pelo coeficiente *a*: 
 3x2-2x-1=0 
 3x23-2x3-13=03 
 x2-23x-13=0 
 x2-23x=13 
 x2-23x+`(-13`)2=13+
  +`(-13`)2   
 x2-23x+19=13+19
 `(x-13`)2=49
 x-13=+:-?49*
 x-13=+:-23

<p>
 Da, temos: 
 x-13=23
 x=23+13
 x=33=1
 ou
 x-13=-23
 x=-23+13
 x=-13 
 Logo, os nmeros reais -13 e 1 so as razes da equao dada. 
<R->

 Exerccio 

  Utilizando o processo algbrico de Bhaskara, determine as razes das equaes do 2 grau no conjunto 
dos nmeros reais: 
<R+>
 a) x2-10x+9=0 
 b) x2+x-6=0 
 c) x2+4x-5=0 
 d) x2-10x+24=0 
 e) 2x2-9x+4=0 
 f) x2+8x+16=0

<115> 
<p>
 Frmula resolutiva ou frmula de Bhaskara 
<R->

  Veja como podemos chegar  frmula resolutiva: 

<R+>
 Processo algbrico de Bhaskara

 x2+4x-12=0
 x2+4x=12
 x2+4x+`(42`)2=12+`(42`)2
 x2+4x+4=12+4
 `(x+2`)2=16
 `(x+2`)=+:-16
 x+2=+:-4
 x=-2+:-4
 x=2 ou x=-6

<p>
 Deduo da frmula resolutiva

 ax2+bx+c=0 `(a=0`)
 ax2a+bxa+ca=0a
 x2+bax+ca=0
 x2+bax+ca-ca=0-ca
 x2+bax=-ca
 x2+bax+`(?ba*~2`)2=-ca+
  +`(?ba*~2`)2
 x2+bax+b24a2=b2
  4a2-ca
 x2+bax+b24a2=?b2-
  -4ac*4a2
 `(x+b2a`)2=?b2-4ac*4a2
 x+b2a=+:-??b2-
  -4ac*4a2*
 x+b2a=+:-??b2-4ac*2a*
 x=-b2a+:-??b2-4ac*2a*
 x=?-b+:-??b2-4ac*2a*
<R->
 
  A frmula x=?-b+:-?b2-
 -4ac**2a  chamada frmula resolutiva da equao completa 
do 2 grau ax2+bx+c=0. 
  A expresso b2-4ac (que  um nmero real)  usualmente representada pela letra 
grega d (delta) e  chamada discriminante da equao. 
  Ento, a frmula resolutiva pode ser escrita assim: 

 x=?-b+:-d*2a
 
  A frmula resolutiva recebeu, 
tambm, o nome de frmula de 
Bhaskara em homenagem ao 
grande matemtico hindu.

<116> 
  Usando a frmula resolutiva, vamos calcular as razes da equao x2+4x-12=0, 
cujos coeficientes so a=1, b=4, c=-12. 

<R+>
 d=b2-4ac=`(4`)2-4`(1`)
  `(-12`)=16+48=64 
 x=?-b+:-d*2a=?-`(4`)+:-
  +:-64*2`(1`)=?-4+:-8*2
 x=?-4+8*2=42=2
 x=?-4-8*2=-122=-6
<R->

<p>
 Consideraes importantes 

  Observe que podemos encontrar valores de x que no so reais, j que dependemos 
do clculo de uma raiz quadrada. Assim, os tipos de razes que vamos encontrar podem ser 
estudados a partir do discriminante d da equao dada. 
  Temos, ento, trs casos a considerar. 

<R+>
 1 caso: d  um nmero real positivo `(d>0`). 
<R->
   Nesse caso, d  um nmero real, e existem dois valores reais diferentes para a 
incgnita x, sendo costume representar esses valores por x e x, que constituem as razes da equao. 

 x=?-b+:-d*2a 
 x=?-b+d*2a 
 e 
 x=?-b-d*2a

<p>
<R+>
 2 caso: d  zero `(d=0`). 
<R->
  Nesse caso, d  igual a zero e ocorre: 
 x=?-b+:-d*2a=?-b+:-
  +:-0*2a=?-b+:-0*2a=
  =-b2a

  Observamos, ento, que existe um nico valor real para a incgnita x, embora seja 
costume dizer que a equao tem duas razes reais e iguais, ou seja: 

 x=x=-b2a 

<R+>
 3 caso: d  um nmero real negativo `(d<0`). 
<R->
  Nesse caso, d no  um nmero real, pois no h no conjunto dos nmeros reais a 
raiz quadrada de um nmero negativo. 
  Dizemos, ento, que no h valores reais para a incgnita x, ou seja, a equao no 
tem razes reais. 
  Nesse 3 caso, as razes da equao pertencem a um outro conjunto numrico chamado 
conjunto dos nmeros complexos, cujo estudo ser feito no Ensino Mdio.

<117> 
  Como acabamos de ver, a existncia ou no de razes reais, bem como o fato de elas 
serem duas ou uma nica, depende, exclusivamente, do discriminante d=b2-
 -4ac. 
  Na equao ax2+bx+c=0, temos d=b2-4ac e consideramos: 
<R+>
 o Quando d>=0, a equao tem razes reais 
 d>0 (duas razes diferentes); 
 d=0 (uma nica raiz). 
 o Quando d=<0, a equao no tem razes reais. 
<R->
  Vamos, agora, determinar as razes de algumas equaes do 2 grau com uma incgnita 
usando a frmula resolutiva ou frmula de Bhaskara. 

<R+>
 1- Resolver a equao x2+2x-8=0 no conjunto _r. 
  Nessa equao, temos: 
<p>
 a=1 b=2 c=-8 
 d=b2-4ac=`(2`)2-4`(1`)
  `(-8`)=4+32=36>0 
 Como d>0, a equao tem duas razes reais diferentes dadas por: 
 x=?-b+:-d*2a=?-`(2`)+:-
  +:-36*2`(1`)=?-2+:-6*2 
 x=?-2+6*2=42=2 
 e 
 x=?-2-6*2=-82=-4
 Os nmeros -4 e 2 so as razes reais da equao dada. 
<R->

 _`[{o moo diz_`]
  "Procure fazer a verificao." 

 Ento: S=~l-4, 2_,. 

<R+>
 2- Resolver a equao x2-14x+49=0 no conjunto _r. 
  Nessa equao, temos: 
 a=1 b=-14 c=49 
 d=b2-4ac=`(-14`)2-4`(1`)
  `(49`)=196-196=0 
 Como d=0, a equao tem uma nica raiz real, que  dada por: 
 x=-b2a=-`(-14`)2`(1`)=142=7
 O nmero 7  a nica raiz real da equao dada. 
 Ento: S=~l7_,. 

<118> 
 3- Resolver a equao x2-5x+8=0 no conjunto _r.
 a=1 b=-5 c=8
 d=b2-4ac=`(-5`)2-4`(1`)
  `(8`)=25-32=-7
 Como d<0, a equao dada no tem razes reais.
 Logo, S=_j.

 4- Determinar, no conjunto _r, a soluo da equao 3x`(x+1`)-x=
  =33-`(x-3`)2.
  Vamos, inicialmente, escrever a equao dada na sua forma reduzida:
<p>
 3x`(x+1`)-x=33-`(x-3`)2
 3x2+3x-x=33-`(x2-6x+9`)
 3x2+3x-x=33-x2+6x-9
 3x2+2x=-x2+6x+24
 3x2+x2+2x-6x-24=0
 4x2-4x-24=0
 x2-x-6=0 -- dividimos todos os termos por 4 para simplificar a equao
 Nessa equao reduzida, temos:
 a=1 b=-1 c=-6
 d=b2-4ac=`(-1`)2-4`(1`)
  `(-6`)=1+24=25
 Como d>0, a equao tem duas razes, que so dadas por:
 x=?-b+:-d*2a=?-`(-1`)+:-
  +:-25*2`(1`)=?1+:-5*2  
 x=?1+5*2=62=3 
 x=?1-5*2=-42=-2
 Os nmeros 3 e -2 so as razes reais da equao dada.
 Logo, S=~l-2, 3_,.

 5- Resolver a equao x-5=-1?x-3* no conjunto _r-~l3_,.
  Inicialmente, vamos escrever a 
<p>
  equao dada na forma ax2+
  +bx+c=0:
 x-5=-1?x-3*
 ?x`(x-3`)-5`(x-3`)*?x-3*=
  =-1?x-3*
 x`(x-3`)-5`(x-3`)=-1
 x2-3x-5x+15=-1
 x2-3x-5x+15+1=0
 x2-8x+16=0
 Nessa equao, temos:
 a=1 b=-8 c=16
 d=b2-4ac=`(-8`)2-4`(1`)
  `(16`)=64-64=0
 Como d=0, a equao tem uma nica raiz real, que  dada por:
 x=-b2a=-`(-8`)2`(1`)=82=4
 Logo, S=~l4_,.
<R->

<119>
  As equaes incompletas tambm podem ser resolvidas com a aplicao da frmula 
resolutiva. Observe os exemplos: 

<R+>
 1- Resolver a equao x2-
  -9=0. 
  Nessa equao, temos: 
 a=1, b=0, c=-9 
 d=b2-4ac=`(0`)2-4`(1`)
  `(-9`)=0+36=36 
 Como d>0, a equao tem duas razes reais dadas por: 
 x=?-b+:-d*2a=?0+:-
  +:-36*2`(1`)=?0+:-6*2 
 Ento: 
 x=?0+6*2=62=3 
 x=?0-6*2=-62=-3 
 S=~l-3, 3_, 

 2- Resolver a equao 2x2-
  -5x=0. 
  Nessa equao, temos: 
 a=2, b=-5, c=0 
 d=b2-4ac=`(-5`)2-4`(2`)
  `(0`)=25+0=25 
 Como d>0, a equao tem duas razes reais dadas por: 
 x=?-b+:-d*2a=?-`(-5`)+:-
  +:-25*2`(2`)=?5+:-5*4 
 Ento: 
 x=?5+5*4=104=52 
 x=?5-5*4=04=0 
 S=~l0, 52_,

<p>
 Exerccios 

 1. Todas as equaes seguintes esto escritas na forma reduzida ax2+bx+c=0. 

 x2-3x-4=0 
 x2-7x+15=0 
 5x2+4x-1=0 
 x2+8x+16=0 
 12x2-x-1=0 
 9x2-6x+1=0 

 Calculando o valor do discriminante d em cada uma delas, responda: 
 a) Quantas e quais dessas equaes tm razes reais diferentes? 
 b) Quais dessas equaes tm uma nica raiz real?

<120>
 2. As equaes seguintes esto escritas na 
forma reduzida. 
  Usando a frmula resolutiva, 
determine o conjunto soluo de cada equao 
no conjunto _r. 
 a) x2-7x+6=0 
 b) x2-x-12=0 
 c) x2-3x-28=0 
 d) x2+12x+36=0 
 e) 6x2-x-1=0 
 f) 9x2+2x+1=0 
 g) 3x2-7x+2=0 
 h) 25x2-10x+1=0 

 3. Vamos resolver, no conjunto _r, as seguintes equaes: 
 a) x2-2x=2x-4 
 b) x2-2x=x+4
 c) x2+10=9x-10 
 d) 6x2+3x=1+2x 
 e) 9x2+3x+1=4x2 
 f) 9x2-1=3x-x2 

 4. Quantos nmeros reais inteiros existem 
entre as razes da equao x2-2x-15=0? 
 5. Veja estas equaes: 

 x2-12x=85 
 x2+51=20x 

<p>
 Essas equaes tm uma raiz real comum. Determine a soma das razes no comuns. 
 6. Uma das razes da equao 4x2-21x+20=0  
um nmero fracionrio. Qual  a soma dos termos 
dessa frao? (A frao deve ser simplificada). 
 7. Sendo *p* e *q* as razes reais da equao 
x2-7x+
  +10=0, qual  o valor da expresso pq+qp? 

 8. Sendo U=_r, determine o conjunto soluo 
de cada uma das seguintes equaes do 2 grau: 
 a) `(x+2`)2+x=0 
 b) 3x2=2`(x-1`)2+3 
 c) x`(x+11`)+2`(x+21`)=0 
 d) 6`(x2-1`)-14=5x2+x 
 
 9. Considere a expresso algbrica 
32-`[8x+`(8-2x`)`(4-
  -x`)`]. Determine os valores 
reais de x para que o valor numrico dessa 
expresso seja 8. 
<p>
 10. Considere a equao ?x2-4*3=?x-3*2. 
Podemos afirmar que a maior das razes dessa 
equao  um nmero primo? Por qu?

 11. Vamos determinar o conjunto soluo 
S de cada uma das seguintes equaes do 2 
grau, sendo U=_r. 
 a) x2-45x=15 
 b) x+?x2+4*5=2 
 c) x22-?x+12*3=2x
 d) ?x`(x+1`)*4-?x-5*12=
  =?5`(2x-1`)*6 

 12. Resolva as seguintes equaes do 2_ grau: 
 a) x+10=-9x (com x,_r e x=0). 
 b) 6x+5=?3x+5*?x-1* (com x,_r e x=1). 
 c) 1x=32-1?x-1* (com x,_r, x=0 e x=1).
 d) x?x-2*-3?x-1*=
  =3?`(x-2`)`(x-1`)* (com x,_r, x=1 e x=2).
<p>
 e) x?x-2*+4?x-1*=5 (com x,_r, x=1 e x=2). 
 f) 2?x2-1*-2=x?x-1* (com x,_r, x=-1 e x=1).
 g) 3x?x+2*-3?x2-4*=2 (com x,_r, x=-2 e x=2). 
 h) 1?x-3*-12=1?x-2* (com x,_r, x=2 e x=3). 

 13. Considere as equaes que aparecem nos quadros a seguir. 

 !::::::::::::::::::::::
 l  x+1=?8-x*x       _
 r::::::::::::::::::::::w
 l ?9-x*2+4?x-2*= _
 l   =32`(x-1`)       _
 h::::::::::::::::::::::j

 Qual  a soma de todas as razes das duas equaes? 
 14. Considere a igualdade y=6x+x-3. 
Quais so os valores reais de x para que se tenha y=4? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<121> 
 22 -- Resolvendo problemas 

  Agora, vamos solucionar alguns problemas cujas resolues dependem de uma equao 
do 2 grau com uma incgnita. 

<R+>
 1- Uma das provas da Olimpada de Matemtica na Escola do Bairro era criar uma situao 
que envolvesse uma equao do 2 grau com uma incgnita. Veja como Caio se saiu: 
<R->

 _`[{caio diz_`]
  "O quadrado do nmero que 
representa, em anos, a idade de 
meu irmo, menos o dobro desse 
nmero,  igual a cinco vezes o 
nmero aumentado de 8. 
Quantos anos 
tem meu irmo?"

<R+>
 Vamos indicar o nmero que representa a idade do irmo de Caio por x. 
  De acordo com os dados do problema, temos a equao: 
<p>
 x2-2x=5x+8 
 Resolvendo a equao: 
 x2-2x=5x+8 
 x2-2x-5x-8=0 
 x2-7x-8=0 -- forma reduzida da equao 
 a=1, b=-7, c=-8 
 d=b2-4ac=`(-7`)2-4`(1`)
  `(-8`)=49+32=81 
 x=?-b+:-d*2a=?-`(-7`)+:-
  +:-81*2`(1`)=?+7+:-9*2 
 x=?7+9*2=162=8 
 e
 x=?7-9*2=-22=-1 (no serve)  
 Portanto, o irmo de Caio tem 8 anos. 

<122> 
 2- Sabe-se que o custo por unidade de um produto produzido por uma empresa  dado 
pela frmula matemtica C=x-200x=+2, em que C representa o custo, em reais, por 
unidade, e x representa o nmero de unidades produzidas. Quantas unidades devem ser 
produzidas para que o custo por unidade seja de R$12,00? 
  Como C=12, podemos escrever a equao: 
 12=x-200x+2 ou x-200x+2=12 
 Resolvendo a equao, temos: 
 x-200x+2=12 
 ?x2-200+2x*x=12xx 
 x2-200+2x=12x 
 x2-200+2x-12x=0 
 x2-10x-200=0 -- forma reduzida da equao 
 a=1, b=-10, c=-200 
 d=b2-4ac=`(-10`)2-4`(1`)
  `(-200`)=100+800=900 
 x=?-b+:-d*2a=?-`(-10`)+:-
  +:-900*2`(1`)=?10+:-30*2
 x=?10+30*2=402=20
 e 
 x=?10-30*2=-202=-10 (no serve)
 Logo, devem ser produzidas 20 unidades do produto. 

<p>
 Exerccios 

 1. O quadrado de um nmero real inteiro  
igual a sete vezes o nmero, menos 6. Qual  
esse nmero? 
 2. O quadrado da diferena entre um nmero 
real x e 3  igual a cinco vezes o nmero x, diminudo 
de 1. Qual  esse nmero x? 
 3. Na figura, a soma dos nmeros que esto 
na linha  igual  soma dos nmeros que esto 
na coluna. Quais so os valores reais de x que 
tornam verdadeira essa afirmao? 

<F->
!::::::!:::::!:::::
l x2 l -7 l 6x _
h::::::h:::::r:::::w
             l 13 _
             r:::::w
             l -x  _
             h:::::j
<F+>

<p>
 4. O nmero *p* de partidas que devem ser 
disputadas em um torneio de voleibol, com 
turno e returno, pode ser calculado pela frmula 
p=x`(x-1`), em que x indica o nmero 
de equipes que participam desse torneio. Se 
um torneio tem um total de 380 jogos, quantas 
equipes participam desse torneio? 
 5. Quando voc divide o polinmio x3+6x2-x-6 por x+1, 
voc tem uma diviso exata e um quociente Q`(x`). Quais os valores reais de x 
que tornam o polinmio Q`(x`) igual a 0? 
 6. Uma pessoa distribui 240 balas para um 
nmero x de crianas. Se cada criana receber 
uma bala a menos, o nmero de balas que cada 
criana vai receber ser igual ao nmero de 
crianas. Qual  o valor de x? 
 7. Os registros de temperatura tomados 
entre 0 hora e 24 horas de um dia em uma 
zona rural se ajustam  frmula matemtica 
T=-110`(x-12`)2+10, em que T representa a 
temperatura em graus Celsius, e x representa 
as horas do dia. A que horas do perodo da tarde 
a temperatura registrada foi de 9,6C? 
<R->

<123>
 Brasil Real 

 wr Geografia 
  Turismo 
  Histria 

<R+>
 1. A regio onde veio aportar a esquadra de Pedro lvares Cabral , hoje, um importante centro 
turstico. 

 _`[{mapa: "Cidades da regio da chegada dos portugueses ao 
  Brasil" adaptado_`]
 Parte do estado da Bahia destacando as cidades: Belmont, Santa Cruz Cabrlia, Porto Seguro, Arraial D'Ajuda, Trancoso, Caraiva, Itabela, Eunpolis, Itapebi.

 _`[{quatro fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: *Porto Seguro*  o ponto 
inicial para quem deseja 
comear essa viagem 
pela histria do Brasil. 
So `(I`) km de praias 
protegidas por recifes 
de corais, rios, riachos, 
coqueirais e uma 
exuberante Mata 
Atlntica. 
 Legenda 2: Distante `(II`) km de Porto Seguro, *Santa Cruz Cabrlia* dispe de moderna 
infraestrutura turstica, praias praticamente desertas e rios navegveis. O local onde 
existiu o povoado de Santa Cruz, destrudo pelos indgenas Aimors em 1564, 
hoje corresponde  rea da Reserva Indgena da Tribo Patax, com sede 
na praia de Coroa Vermelha. A 1 missa rezada no Brasil foi 
celebrada na praia de Coroa Vermelha, que  hoje um marco 
da poca em que os portugueses chegaram ao Brasil. 
<p>
 Legenda 3: Cerca de `(III`) km de praias paradisacas de guas mornas e extensos 
coqueirais desenham a paisagem de *Arraial D'Ajuda*. 
O arraial surgiu a partir da construo da igreja em invocao 
a Nossa Senhora. Conta-se que foi assim batizado por haver 
ali uma fonte de gua milagrosa, de grande ajuda para 
sanar os problemas de abastecimento da localidade. 
 Legenda 4: Distante `(IV`) km de Arraial D'Ajuda e a `(V`) km de Porto Seguro, 
fica *Trancoso*. Originalmente uma aldeia jesuta do sculo XVI, na 
poca conhecida como So Joo Batista dos ndios, mantm-se 
como um dos ltimos exemplares ainda conservados das 
primeiras povoaes do Brasil. 

 Resolva as equaes a seguir para descobrir as distncias indica-
<p>
  das nos textos com algarismos romanos. 
 `(I`) x2-8.100=0 
 `(II`) 2x2-46x=0 
 `(III`) x2-15x-16=0 
 `(IV`) e `(V`), respectivamente, em ordem crescente: x2-50x+624=0 

<124> 
 2. Localizada no interior do estado de So Paulo, Barra 
  Bonita  uma cidade turstica pela 
qual passa o Rio Tiet.  l, tambm, que se localizam a represa e a eclusa de Barra Bonita. A 
distncia entre So Paulo e Barra Bonita  de, aproximadamente, 300 km. Para percorrer essa 
distncia, com certa velocidade mdia, o motorista de um carro levou x horas, viajando sem 
parar. Sabendo que a mesma distncia seria percorrida em 2 horas a menos, se essa velocidade 
mdia fosse aumentada em 40 km/h, determine o tempo x. 

 _`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: As eclusas so construdas em trechos de rio ou canal 
onde h grande desnvel do leito, para permitir a descida 
ou a subida de embarcaes. Desde 1973, a eclusa de 
Barra Bonita tornou-se a primeira da 
  Amrica do Sul a ser 
explorada turisticamente. 
<R->

 Desafio! 

  Convide um colega e, juntos, faam a leitura e a resoluo do desafio a seguir. 
  Ricardo partiu, de carro, de uma cidade A e seguiu por uma estrada, com destino a uma cidade B. Em 
cada instante *t* (em horas), o tempo que faltava percorrer at o destino era dado pela frmula matemtica 
D=4`(?t+
 +7*?t2+1*-1`). Logo, quando Ricardo chegou  cidade B, D=0. 
<p>
<R+>
 a) Quanto tempo Ricardo levou para percorrer, de carro, a distncia de A at B? 
 b) Se a distncia entre A e B  de 240 km, com que velocidade mdia Ricardo percorreu esse trajeto? 

 A equao do 2 grau e a 
  Geometria 

 O clculo de reas e as equaes do 2 grau 
<R->

  Voltemos  situao apresentada no captulo 19, na pgina 266, em cuja resoluo obtivemos 
uma equao do 2 grau com uma incgnita. 
  Como vimos, a figura representa a planta parcial de um escritrio. As duas salas quadradas 
e o corredor retangular tm, juntos, 40 m2 de rea. Cada sala tem x metros de lado, e o 
corredor tem 1 m de largura. Qual  a medida x do lado de cada sala quadrada? 

<p>
<F->
     p^^pccccccccccccccccccc
     l  l         _          _
   x l  l sala 1 _  sala 2 _  
     l  l         _          _
     l  l         _          _
     r~~h:::::::    ::::::::w
1 m l         corredor      _
     h~~:::::::::::::::::::::j   
<F+>

<125> 
  Como vimos, a rea de cada sala  dada por x2, e a rea do corredor  dada por 12x ou 2x. 
  De acordo com a figura, podemos escrever a equao: 

<R+>
 2x2+2x=40 
 2x2 -- rea das duas salas quadradas 
 2x -- rea do corredor retangular  
 2x2+2x-40=0 
 x2+x-20=0 -- dividimos todos os termos por 2, para simplificar a equao 
<p>
 Na equao simplificada, temos: 
 a=1 b=1 c=-20 
 d=b2-4ac=`(1`)2-4`(1`)
  `(-20`)=1+80=81 
 x=?-b+:-d*2a=?-`(1`)+:-
  +:-81*2`(1`)=?-1+:-9*2 
 x=?-1+9*2=82=4
 e
 x=?-1-9*2=-102=-5
<R->

  Como a medida do lado no pode ser negativa, a soluo -5 no serve para o problema. 
  Assim, a medida do lado de cada sala  4 m. 

<R+>
 O nmero de lados, o nmero de diagonais de um polgono e as equaes do 2 grau 
<R->

 _`[{o moo diz_`]
  "Quantas 
diagonais tem 
um quadrado?"

 _`[{a menina diz_`]
  "Esta  fcil: 
So duas 
diagonais!"

 _`[{o moo diz_`] 
  "E se eu dissesse o 
nmero de diagonais para 
voc descobrir qual  o polgono 
convexo? Por exemplo, qual o 
polgono convexo que tem 
5 diagonais?"

 _`[{a menina diz_`] 
  " o pentgono. 
Por coincidncia, o 
nmero de lados  igual 
ao nmero de 
diagonais." 

 _`[{o moo diz_`]
  "E se aumentarmos 
o nmero de diagonais, 
fica mais complicado 
identificar 
o polgono?"
 
<126> 
  Podemos calcular o nmero de diagonais (d) de um polgono convexo de *n* lados usando 
a frmula: 

 d=?n`(n-3`)*2 

  Usando essa relao, verificamos facilmente qual o nmero de 
<p>
diagonais, por exemplo, do heptgono: 

<R+>
 d=?7`(7-3`)*2 :> d=?74*2 :> d=282 :> d=14 
<R->

  O heptgono tem 14 diagonais. 

 _`[{figura no adaptada_`]

  Tambm podemos utilizar essa frmula para descobrir o nmero de lados de um polgono 
sabendo quantas so suas diagonais. Nesse caso, a resoluo pode exigir o uso de uma 
equao do 2 grau com uma incgnita. 
  Vamos, ento, considerar o problema seguinte. 
  Qual  o polgono que tem 14 diagonais? 
  Temos, ento, que d=14. 
  Substituindo, na frmula, obtemos uma equao do 2 grau: 

<p>
<R+>
 d=?n`(n-3`)*2 :> 14=?n`(n-3`)*2 :> ?n`(n-3`)*2=14 :> ?n2-3n*2=14 :> n2-3n=28
<R->

  Resolvendo a equao n2-3n=
 =28, temos: 
<R+>
 n2-3n-28=0 
 a=1, b=-3, c=-28 
 d=b2-4ac=`(-3`)2-4`(1`)
  `(-28`)=9+112=121 
 n=?-b+:-d*2a=?-`(-3`)+:-
  +:-121*2=?3+:-11*2
 n=?3+11*2=142=7
 e
 n=?3-11*2=-82=-4 (no serve)
<R->

  A resposta -4 no serve para o problema, pois *n* deve representar o nmero de lados 
de um polgono. 
  Logo, o polgono que tem 14 diagonais possui 7 lados, ou seja,  um heptgono. 

<127> 
<p>
 Exerccios 

<R+>
 1. Um terreno retangular tem 1.100 m2 de 
rea. A frente desse terreno tem 28 metros a 
menos que a lateral. Quais so as dimenses 
desse terreno? 
 2. Para calcular o volume de um paraleleppedo 
retngulo (figura a seguir), devemos multiplicar 
suas trs dimenses. Sabe-se que o volume 
do paraleleppedo da figura  30 m2. Qual  
o maior valor de x, nesse caso? 

<F->
           --------------.
         .a            .al  
       .a            .a  l
     .a            .a    l
    pccccccccccccc     .a
x m l             _   .a 
    l             _ .a 3 m
    v-------------#a
       `(x+3) m  
<F+>

<p>
 3. Usando a frmula matemtica d=?n`(n-3`)*2, 
que relaciona o nmero de diagonais (d) e o nmero 
de lados (n) de um polgono, calcule o 
nmero de lados do polgono que tem: 
 a) 9 diagonais. 
 b) 20 diagonais. 

 4. Um retngulo apresenta as medidas indicadas 
na figura. 

<F->
     !::::::::::::
2 m l            _
     l            _
     h::::::::::::j
           5 m
<F+>

 Se aumentarmos o comprimento e a largura na 
mesma quantidade, a rea do novo retngulo 
ser 7 vezes a rea do retngulo original. 
 a) Quais as dimenses do novo retngulo? 
 b) Qual  o permetro do novo retngulo? 

 5. O piso de um galpo retangular tem 140 m2 
de rea. As medidas dos lados desse piso, em 
metros, esto indicadas na figura. Quais so essas 
medidas?

<F->
     !:::::::
     l       _
x+2 l       _
     l       _
     h:::::::j
       x+6
<F+>

 6. Observe a figura a seguir. 

<F->
          10
  r::::::::::::::::::w
A:::::::::::::C:::::B
  r:::::::::::w
        x
<F+>

 Sabendo que A{c2=A{bB{c e adotando 5=2,23, 
calcule o valor da medida x. 
 7. O quadrado e o retngulo seguintes tm a mesma rea. 

<p>
<F->
     x
  !:::::
  l     _
x l     _
  l     _
  h:::::j

      x+5
    !::::::
16 l      _
    l      _
    h::::::j
<F+>

 a) Qual a medida do lado e o permetro do quadrado? 
 b) Qual o permetro do retngulo? 

 8. Em um terreno retangular de 80 m por 50 m, 
foi construdo um barraco que serve de depsito 
para uma firma. Esse depsito ocupa uma 
rea de 1.000 m2. Em torno do barraco, h um 
recuo de x metros de cada lado, para um gramado 
(ver figu-
<p>
  ra). Qual  a medida x desse recuo?

<F->
                80 m
      !:::::::::::::::::::::
      l           _          _
      l         x _          _
      l           _          _ 
      l  x  !:::::j::::  x  _
50 m r:::::l          _:::::w
      l     h:::::!::::j     _
      l           l          _
      l         x l          _
      l           l          _
      h:::::::::::h::::::::::j
<F+>
 
 9. A tela de um quadro tem a forma retangular 
e mede 50 cm e 30 cm. Nessa tela, foi 
colocada uma moldura, tambm retangular, 
de largura x. Calcule essa largura, sabendo 
que o quadro todo passou a ocupar uma rea 
de 2.400 cm2. 

<p>
<F->
          !::::::::::::::::::::
          l        x _          _
       !~~l~~~!::::::j::::::   _
       l  l x l             _ x _
30 cm l  r:::l             _:::w
       l  l   l             _   _
       h~~l~~~h::::::::::::j   _
          l   k    x _      {   _
          h:::r::::::j::::::w:::j
              k             {
              h:::::::::::::j
                   50 cm
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<128> 
 23 -- Estudando as razes de uma equao do 2 grau 
<R->

  Por estudos realizados anteriormente, sabemos que: 
<R+>
 o Um nmero real *r*  raiz de uma equao do 2 grau ax2+bx+c=0 quando, substituindo 
a incgnita x pelo nmero real *r*, obtemos uma sentena verdadeira. 
<p>
 o Quando d>0, a equao tem duas razes reais diferentes. 
 o Quando d=0, a equao tem uma nica raiz real (ou duas razes reais iguais). 
 o Quando d<0, a equao no tem razes reais. 
<R->

  Vamos usar esses conhecimentos para resolver alguns problemas. 

<R+>
 1- Verificar se o nmero real -5  raiz da equao 2x2+
  +9x-5=0. 
  Para x=-5, temos: 
 2`(-5`)2+9`(-5`)-5=50-
  -45-5=0 (verdadeiro) 
 Logo, o nmero -5  raiz da equao dada. 

 2- Sabendo-se que o nmero 1  raiz da equao ax2-6x+1=0, calcular o valor do 
coeficiente *a*. 
 ax2-6x+1=0 
 Como 1  raiz da equao, vamos substituir a incgnita x pelo nmero 1: 
 a`(1`)2-6`(1`)+1=0 
 a-6+1=0 
 a-5=0 -- equao do 1 grau na incgnita *a* 
 a=5 
 Logo, o valor do coeficiente *a*  5. 

 3- Sabendo-se que a equao 5x2-4x+2m=0 tem duas razes reais e diferentes, determinar 
os valores reais que *m* deve assumir. 
  J vimos que a equao tem duas razes reais diferentes quando d>0. 
  Vamos, ento, determinar o d: 
 5x2-4x+2m=0 
 a=5 b=-4 c=2m 
 d=b2-4ac=`(-4`)2-4`(5`)
  `(2m`)=16-40m
<129> 
<p>
 De acordo com o problema, d>0. Da: 
 16-40m>0 -- inequao do 1 grau na incgnita *m* 
 -40m>-16 
 40m<16 
 m<1640 
 m<25 
 Logo, devemos ter m<25. 

 4- Determinar o valor real de *p* na equao x2-px+9=0 para que essa equao tenha 
uma nica raiz real. 
  Para que a equao tenha uma nica raiz real, devemos ter d=0. 
  Ento, vamos calcular d: 
 x2-px+9=0 
 a=1 b=-p c=9 
 d=b2-4ac=`(-p`)2-4`(1`)
  `(9`)=p2-36 
 De acordo com o problema, d=0. Da: 
<p>
 p2-36=0 -- equao incompleta do 2 grau na incgnita *p* 
 p2=36 
 p=+:-36 
 p=+:-6 
 Logo, devemos ter p=6 ou p=-6. 

 Exerccios

 1. Dentre os nmeros seguintes, quais so razes 
da equao x2-2x-8=0? 

 -2 
 0 
 1 
 4 

 2.  correto afirmar que 2+6  raiz da 
equao x2-4x-2=
  =0? 
 3. Considere a equao 2x2+
  +kx-1=0. Mostre 
que se k=1, a menor raiz real da equao  
um nmero inteiro. 
<p> 
 4. O nmero -3  raiz de x2-7x-2c=0. 
Nessas condies, determine o valor real de c. 
 5. Determine o coeficiente *b* na equao 
2x2-bx+10=0, sabendo que o nmero 5  
raiz dessa equao. 
 6. Sabe-se que a equao 9x2-6x+2m=0 
tem razes reais. Quais os possveis valores 
reais de *m*? 
 7. Determine os valores reais que k deve assumir 
para que a equao 9x2+9x+k=0 no tenha razes reais. 
 8. Qual deve ser o valor do coeficiente *b* para 
que a equao 2x2+bx+8=0 tenha uma nica 
raiz real? 
 9. Determine os possveis valores reais de *p* 
para que a equao 4x2-4x+2p-1=0 tenha 
razes reais e diferentes. 
 10. Determine o valor real de *m* para que a 
equao x2+
  +`(m-1`)x+m-2=0 tenha uma nica 
<p>
  raiz real (ou duas razes reais iguais). 
 11. Quais os possveis valores reais de k para 
que a equao `(k-2`)x2-6x-3=0 no tenha razes reais?

               ::::::::::::::::::::::::

<130> 
 24 -- Relacionando as razes e os coeficientes da equao ax2+bx+c=0
<R->

  Considere a equao ax2+bx+
 +c=0, com a=0, e x e x as razes reais dessa equao. 
  Entre as razes x e x e os coeficientes *a*, *b* e *c* da equao existem duas relaes importantes, as quais veremos a seguir.

<R+>
 1 relao: Sendo x e x as razes reais da equao, temos:
<R->

 x=?-b+d*2a e 
  x=?-b-d*2a

  Adicionando membro a membro essas duas igualdades, obtemos a 1 relao.

 x+x=?-b+d*2a+
  +?-b-d*2a=?-b+d-
  -b-d*2a=-2b2a=-ba

  Em toda equao do 2 grau, em que x e x so razes reais, temos que x+x=-ba.

<R+>
 2 relao: Sendo x e x as razes reais da equao, temos:
<R->

 x=?-b+d*2a e x=?-b-
  -d*2a

  Multiplicando membro a membro as duas igualdades, obtemos a 2 relao.

<R+>
 xx=?-b+d*2a?-b-
  -d*2a=?`(-b+d`)`(-b-
  -d`)*4a2=?`(-b`)2-
  -`(d`)2*4a2=?b2-
  -d*4a2
<R->

  Como d=b2-4ac, fazemos a substituio a seguir.

<R+>
 xx=?b2-`(b2-
  -4ac`)*4a2=?b2-b2+
  +4ac*4a2=4ac4a2=
  =4ac?4aa*=ca
<R->

  Ento, nas equaes do 2  grau, em que x e x so razes reais, temos que xx=ca.
  Vamos, agora, usar essas duas relaes importantes para resolver alguns problemas.

<R+>
 1- A equao 3x2-8x-3=0 apresenta duas razes reais e diferentes. Sem resolver a
equao, determinar a soma e o produto dessas duas razes.
  Pela equao dada:
 a=3 b=-8 c=-3
 De acordo com as relaes, podemos escrever:
 x+x=-ba=-`(-8`)3=83
 xx=ca=-33=-1
<p>
 Logo, a soma das razes da equao  83, e o produto dessas razes  -1.

<131>
 2- Determinar o valor de *m* na equao 12x2-mx-1=0, de modo que a soma das razes 
dessa equao seja 56. 
  Pela equao dada, temos: 
 a=12 b=-m c=-1 
 De acordo com a relao da soma, podemos escrever: 
 x+x=-ba=-`(-m`)12=m12 I 
 Segundo os dados do problema: 
 x+x=56 II 
 Comparando I e II, temos: 
 m12=56 :> 6m=60 :>  m=606 :> m=10 
 Logo, o valor de *m*  10. 

 3- O produto das razes reais da equao 8x2-9x+c=0  igual a 34. Calcular o valor do coeficiente *c*. 
  De acordo com a equao dada: 
 a=8 b=-9 c=c 
<p>
 Pela relao do produto, podemos escrever: 
 xx=ca=c8 I 
 De acordo com os dados do problema, temos: 
 xx=34 II  
 Comparando I e II, temos: 
 c8=34 :> 4c=24 :> c=244 :> c=6 
 Logo, o coeficiente *c* vale 6. 

 4- Calcular a soma dos inversos das razes reais da equao 6x2-5x-1=0, sem resolver a equao. 
  Na equao dada, temos: 
 a=6 b=-5 c=-1 
 x+x=-ba=-`(-5`)6=56 e xx=ca=-16=-16 
 Note que: 
 1x+1x=?x+x*?xx* 
<132> 
 Substituindo x+x por 56 e xx por -16, temos: 
 1x+1x=56~-16=
  =56`(-16`)=56`(-6`)=-5 
 Logo, a soma dos inversos das razes  -5. 

 Exerccios

 1. Todas as equaes seguintes tm razes 
reais diferentes. Sem resolv-las, calcule a soma 
e o produto dessas razes. 
 a) x2-x-20=0 
 b) 16x2+8x+1=0 
 c) 6x2-4x-3=0 
 d) 10x2+3x-4=0 

 2. A equao x2-6x-16=0 tem duas razes reais diferentes, expressas por x e x. Sem 
resolver a equao, determine o valor de: 
 a) x+x 
 b) xx 
 c) 1x+1x 

 3. Escreva a equao 1x+1?x+
  +1*=56 na 
forma reduzida e, sem resolv-la, determine a 
soma S e o produto P das razes dessa equao. 
<p>
 4. Se S  a soma, e P  o produto das razes 
reais da equao x2-11x+28=0, qual  o valor de S-P? 
 5. Considere a equao x2-0,8x-1,6=0. 
Sendo S a soma e P o produto das razes reais 
dessa equao, determine o nmero decimal 
que expressa a razo SP. 
 6. Determine a soma e o produto das razes 
das duas equaes a seguir, sem resolv-las. 

 x2-42x+3=0 
 x2-2x-3=0 

 7. Dada a equao 10x2-7x+
  +c=0, determine 
o valor do coeficiente *c* de maneira que 
o produto das razes reais dessa equao seja 
igual a 18. (D a resposta na forma decimal.) 
 8. Na equao 4x2-3px+
  +p-4=0, a soma 
das razes  igual ao produto dessas razes. Nessas 
condies, determine o valor de *p*. 
 9. Considere a equao x2-3mx+m=0. Se 
a soma das razes dessa equao  15, qual  o 
produto dessas razes? 
 10. Se o produto das razes da equao 
x2-2mx+m=0  4, qual  a soma dessas 
razes? 
 11. Sabendo que x e x so as razes da 
equao x2-5=mx e `(x+x`)+`(xx`)=1, 
qual  o valor real de *m* que satisfaz essa 
condio? 
 12. As razes reais de 2x2+5x+h-5=0 so 
tais que uma delas  igual ao inverso da outra 
`(x=1x`). Nessas condies, determine o valor 
de *h*. 
 13. Na equao 4x2-2`(k-1`)x-
  -1=0, as 
razes so opostas ou simtricas. Nessas condies, 
qual  o valor de *k*?
<R->

<133> 
<p>
 Desafio! 

  Paulo desafiou seus colegas de classe...
 
 _`[{paulo diz_`]
  "Quem consegue encontrar, $"de cabea$", as razes de x2-8x+
 +12=0?"

 _`[{a menina pensa_`]
  "A soma  8... e o produto  12.
  2+6=8
  26=12"

 _`[{a menina diz_`]
  "J descobri! As razes so 2 e 6."

 Chegou a sua vez! 

  Descubra mentalmente as razes de cada uma das equaes a seguir. 
 a) x2-5x+6=0 
 b) x2-7x+10=0 
 c) x2-10x+24=0 
 d) x2-8x+7=0 
 e) x2-4x-12=0 

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
 25 -- Escrevendo uma equao do 2 grau quando conhecemos as duas razes 
<R->

  Podemos aplicar a relao entre as razes e os coeficientes da equao do 2 grau para 
escrever a equao na forma ax2+bx+c=0 quando so dados dois nmeros reais `(x e x`) 
como razes da equao. 
  Consideremos a equao ax2+
 +bx+c=0. 
  Como a=0, vamos dividir todos os termos pelo coeficiente *a*: 
<R+>
 ax2a+bxa+ca=0 :> x2+bax+
  +ca=0. I
<R->
  Sendo x e x as razes reais da equao, temos: 
<R+>
 x+x=-ba :> -ba=x+x :> ba=-`(x+x`) II 
 xx=ca :> ca=xx III
<R->
<134> 
<p>
  Substituindo II e III na equao I: 
 x2-`(x+x`)x+xx=0 
  Se indicarmos por S a soma das razes `(x+x=S`) e por P o produto dessas razes 
`(xx=P`), escrevemos a equao na forma: 

 x2-Sx+P=0 

  Dessa forma, obtemos uma equao do 2 grau na incgnita x quando so dadas as 
razes x e x. 
  Consideremos, ento, os exemplos a seguir. 

<R+>
 1- Sabendo que 25 e -1 so as razes reais de uma equao do 2 grau na incgnita x, vamos escrever essa equao. 
 S=25+`(-1`)=25-1=?2-
  -5*5=-35 
 P=25`(-1`)=-25
 x2-Sx+P=0 :> x2-`(-35`)x+
  +`(-25`)=0 :> x2+35x-
  -25=0

 Essa mesma equao pode ser escrita assim: 5x2+3x-2=0. 
 Logo, a equao procurada  x2+35x-25=0 ou 5x2+3x-2=0. 

 2- Determinar a equao do 2 grau na incgnita x, sabendo que as razes dessa equao 
so os nmeros reais -3+3 e -3-3. 
 S=`(-3+3`)+`(-3-3`)=-3+3-
  -3-3=-6 
 P=`(-3+3`)`(-3-3`)=`(-3`)2-`(3`)2=9-3=6 
 x2-Sx+P=0 :> x2-`(-6`)x+
  +6=0 :> x2+6x+6=0 
 Logo, a equao procurada  x2+6x+6=0. 

 Exerccios

 1. Os seguintes pares de nmeros reais so 
razes de uma equao do 2 grau na incgnita 
x. Determine cada uma das equaes a seguir. 
<p>
 a) 5 e 7. 
 b) 6 e 6. 
 c) -2 e 11. 
 d) -8 e -5. 
 e) -8 e 8. 
 f) -9 e 0. 
 g) 12 e -4. 
 h) 34 e 34. 
 i) 4+2 e 4-2. 
 j) -1+10 e -1-10. 

 2. Determine a equao do 2 grau na incgnita 
x que nos permite achar dois nmeros reais quando: 
 a) a soma desses nmeros for 11, e o produto for 18. 
 b) a soma desses nmeros for -5, e o produto for -84. 
 c) a soma desses nmeros for 13, e o produto for -13.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<135>
<p>
 26 -- Equaes biquadradas 

  Denomina-se equao biquadrada, na incgnita x, toda equao da forma 
ax4+bx2+c=0, em que *a*, *b*, *c* so nmeros reais e a=0. 
  As equaes a seguir so biquadradas: 
 o x4-10x2+9=0 
 o x4-5x2+4=0 
 o 9x4-6x2=0 
  Voc nota que as equaes biquadradas so equaes incompletas de 4 grau, desprovidas 
dos termos em que a incgnita teria expoente mpar. 
  A resoluo das equaes biquadradas envolve um artifcio, conforme veremos nos 
exemplos a seguir. 

<R+>
 1- Resolver a equao x4-
  -5x2+4=0, considerando U=_r. 
  Vamos, inicialmente, indicar x2=p, usando a incgnita auxiliar *p*. 
  Substituindo x2 por *p* na equao dada, temos: 
 x4-5x2+4=0 
 `(x2`)2-5x2+4=0 
 p2-5p+4=0 -- equao do 2 grau na incgnita *p* 
 Nessa equao, temos: 
 a=1 b=-5 c=4 
 d=b2-4ac=`(-5`)2-4`(1`)
  `(4`)=25-16=9 
 p=?-b+:-d*2a=?-`(-5`)+:-
  +:-9*2`(1`)=?5+:-3*2 
 p=?5+3*2=82=4 
 e
 p=?5-3*2=22=1

 As razes 4 e 1 so valores reais da incgnita *p*. Como fizemos x2=p, precisamos, 
agora, obter os valores de x, que sero as razes da equao biquadrada. Assim: 
 Para p=4, temos: x2=4 :> x=+:-4 :> x=+:-2. 
 Para p=1, temos: x2=1 :> x=+:-1 :> x+:-1. 
 Ento: S=~l-2, 2, -1, 1_,. 

 2- Determinar a soluo da equao x2=1+2x2 no conjunto _r*. 
  Inicialmente escrevemos a equao dada na sua forma reduzida: 
 x2=1+2x2 :> x4x2=
  =?x2+2*x2 :> x4=x2+2 :> x4-x2-2=0
<136> 
 Vamos, agora, usar a incgnita auxiliar *s*, fazendo x2=s: 
 s2-s-2=0 -- equao do 2 grau na incgnita *s* 
 a=1 b=-1 c=-2 
 d=b2-4ac=`(-1`)2-4`(1`)
  `(-2`)=1+8=9 
 s=?-b+:-d*2a=?-`(-1`)+:-
  +:-9*2`(1`)=?1+:-3*2
 s=?1+3*2=42=2
 e
 s=?1-3*2=-22=-1

 As razes 2 e -1 so valores reais da incgnita *s*. 
  Como fizemos x2=s, vamos agora obter os valores de x, que sero as razes da equao biquadrada em _r*. Assim: 
<p>
 Para s=2, temos: x2=2 :> x=+2 ou x=-2. 
 Para s=-1, temos: x2=-1 :> x=+:--1,_r. 
 Logo, S=~l-2, 2_,.
 
 Exerccios

 1. Determine, no conjunto _r, o conjunto soluo 
de cada uma das seguintes equaes biquadradas: 
 a) x4-8x2-9=0 
 b) x4-4=3x2 
 c) x4-16x2=0 
 d) x4-8x2+16=0 

 2. Para que valores reais de x as expresses 
11x4-6x2 e x2+4 apresentam valores numricos 
iguais? 

 3. Determine o conjunto soluo de cada uma 
das seguintes equaes, sendo U=_r: 
 a) `(x2-1`)`(x2-12`)+24=0 
 b) `(x2+2`)2=2`(x2+6`) 
<p>
 c) `(x+2`)`(x-2`)`(x+1`)`(x-1`)+
  +5x2=20 
 d) x2`(x2-9`)=-20 

 4. Qual  a soma das razes reais positivas da 
equao x4-26x2+25=0? 
 5. Considere a equao x2-2=
  =6?x2-1*, em 
que x=1 e x=-1. Essa equao tem quantas razes reais? 
 6. Todas as razes da equao x2+2x2=3, 
com x=0, so nmeros reais. Essa afirmao  
correta? Justifique. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

 27 -- Equaes irracionais 

  Como j vimos, toda equao que apresenta a incgnita no radicando  chamada equao 
irracional. 
  Veja mais estes exemplos de equaes irracionais: 
 o x=x 
 o ?x-1*=x+3 
<p>
 o x-x=2 
 o ?x2-6x+8*=0 
<137> 
  Para transformar uma equao irracional em uma equao racional, elevamos os dois 
membros da equao a uma potncia conveniente. 
  Ao fazer isso, podemos estar considerando razes que no valem para a equao irracional 
dada; portanto, sempre temos de fazer a verificao dos resultados encontrados. 
  Consideremos, ento, os exemplos a seguir. 

<R+>
 1- Resolver a equao ?x+5*=
  =x-1. 
  Nessa equao, devemos ter x real tal que x>=-5, ou seja, 
  U=~lx,_r,x>=-5_,.
<p>
 `(?x+5*`)2=`(x-1`)2 -- elevamos os dois membros ao quadrado 
 x+5=x2-2x+1 
 x+5-x2+2x-1=0 
 -x2+3x+4=0 
 x2-3x-4=0 -- equao racional a ser resolvida 
 a=1 b=-3 c=-4 
 d=b2-4ac=`(-3`)2-4`(1`)
  `(-4`)=9+16=25 
 x=?-b+:-d*2a=?-`(-3`)+:-
  +:-25*2`(1`)=?3+:-5*2
 x=?3+5*2=82=4
 e
 x=?3-5*2=-22=-1 

 Determinamos, assim, as razes da equao racional do 2 grau. 
  Para determinar as razes da equao irracional dada, precisamos fazer uma verificao 
com os valores obtidos para a incgnita x; pois, ao elevar os dois membros 
da equao ao quadrado, podemos encontrar razes estranhas  equao dada. 
  Veja, a seguir, a verificao. 

 Para x=4, temos: 
 ?4+5*=4-1
 9=3
 3=3 (verdadeira)

 Para x=-1, temos:
 ?`(-1`)+5*=`(-1`)-1
 ?-1+5*=-1-1
 4=-2
 2=-2 (falsa)

 Logo, apenas o nmero 4 satisfaz a equao irracional dada. 
 Ento: S=~l4_,.
 
 2- Vamos resolver a equao ?x-3*+5=x. 
  Nessa equao, devemos ter x real tal que x>=3, ou seja, 
  U=~lx,_r,x>=3_,. 
  Ao observar a equao dada, notamos que o radical no est isolado em um dos 
membros. Para facilitar nossos clculos, vamos, primeiro, isolar o radical em qualquer 
um dos membros da equao. 
<138> 
 ?x-3*+5=x
 ?x-3*=x-5 -- isolamos o radical no primeiro membro
 `(?x-3*`)2=`(x-5`)2 -- elevamos os dois membros ao quadrado
 x-3=x2-10x+25
 -x2+x+10x-3-25=0
 -x2+11x-28=0
 x2-11x+28=0 -- equao racional a ser resolvida
 a=1 b=-11 c=28
 d=b2-4ac=`(-11`)2-4`(1`)
  `(28`)=121-112=9
 x=?-b+:-d*2a=?-`(-11`)+:-
  +:-9*2`(1`)=?11+:-3*2
 x=?11+3*2=142=7
 e
 x=?11-3*2=82=4

 Fazendo a verificao.
 Para x=7, temos:
 ?7-3*+5=7
 4+5=7
 2+5=7 (verdadeira)

<p>
 Para x=4, temos:
 ?4-3*+5=4
 1+5=4
 1+5=4 (falsa)

 Logo, S=~l7_,.

 Exerccios 

 1. Resolva a equao irracional ?x-1*=3-x. 
 2. Quais os valores reais de x para os quais a 
expresso ?x2-6x+16*  igual a 22? 
 3. Qual  o conjunto soluo da equao 4-x=?x+2*? 
 4. Para quais valores reais de x as expresses ?x2-9* e ?x+11* apresentam o mesmo valor? 
 5. Resolva a equao irracional ?7x-3*-1=x. 
 6. Qual  o valor real x que torna a expresso ?x2-x+4*  igual a 4? 
<p>
 7. Determine os nmeros reais x que fazem com que as expresses ?x+?x-1** e 7 tenham o mesmo valor numrico. 
 8. Qual  a soluo da equao ?x?4-x**=??4-x*2* (com x=4)? 
 9. Sabendo que a raiz quadrada de um nmero real positivo x  igual  diferena entre 2 e o mesmo nmero x, determine o nmero x. 
 10. Se adicionarmos o nmero real ?x+2* a um nmero real x, vamos obter 10. Nessas condies, qual  o valor do nmero x?
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Terceira Parte